画像処理の基礎講座（目次）　　画像処理・画像解析ソフトPopImagingの紹介

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２．複素数の基礎
２−２．複素平面（ガウス平面）

　複素数ｚ＝ｘ＋ｉｙは２つの実数ｘとｙの順序対（ｘ，ｙ）（順序対：順序の関係する２つの数値の対のこと。順序が関係するので（ｘ，ｙ）と（ｙ，ｘ）は異なるものになります）でその値が決まります。このことから複素数は２次元平面上の点と考えることもできるので、実部（Ｒｅ（ｚ））を横軸に、虚部（Ｉｍ（ｚ））を縦軸にとった直角座標で複素数を表すことが可能となります。複素数を表す平面を複素平面またはガウス平面と呼び、横軸を実軸、縦軸を虚軸と呼びます。図２−１に直角座標で複素数を表した複素平面を示します。

　また、図２−２に示すように極座標を用いると複素数の実部と虚部は次のように表すこともできます。

　Ｒｅ（ｚ）＝ｘ＝ｒ・ｃｏｓθ　…(2-7)
　Ｉｍ（ｚ）＝ｙ＝ｒ・ｓｉｎθ　…(2-8)

ｒ＝（ｘ^２＋ｙ^２）^１/２　…(2-9)
θ＝ｔａｎ^−１（ｙ/ｘ）　…(2-10)

従って、複素数は極座標を用いて

　ｚ＝ｒ（ｃｏｓθ＋ｉ・ｓｉｎθ）　…(2-11)

と表すことができます。この時、ｒを複素数の絶対値、θを複素数の偏角と呼び、絶対値は｜ｚ｜、偏角は∠（ｚ）またはａｒｇ（ｚ）とも表します。

　複素平面上において、共役な複素数

　ｚ＝ｘ＋ｉｙ

　Ｃ（ｚ）＝ｘ−ｉｙ

は、図２−３に示すように実軸に対して対称な位置に存在します。極座標表現では、ある複素数の共役複素数は絶対値が同じで偏角の符号を反転させたものになります。すなわち共役な複素数は

　ｚ＝ｒ（ｃｏｓθ＋ｉ・ｓｉｎθ）

　Ｃ（ｚ）＝ｒ（ｃｏｓθ−ｉ・ｓｉｎθ）＝ｒ（ｃｏｓ（−θ）＋ｉ・ｓｉｎ（−θ））

と考えることもできます。

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