複素数の基礎：複素数における指数関数と三角関数

２．複素数の基礎
２－６．複素数における指数関数と三角関数

　実数の範囲では三角関数と指数関数は全く別種の関数でしたが、複素数の範囲に拡大するとオイラーの公式

ｅ^ｉθ＝ｃｏｓθ＋ｉ・ｓｉｎθ　…(2-42)

より、三角関数が指数関数に統合されこれらの関数は同種の関数として扱うことができるようになります。このことにより、複素数の範囲では、三角関数の諸公式を指数関数の形で簡略化して表すことが可能になります。

　オイラーの公式より、複素数の範囲では三角関数は指数関数を用いてそれぞれ次のように定義することができます。

　ｃｏｓθ＝（ｅ^ｉθ＋ｅ^-ｉθ）/２　…(2-47)
　ｓｉｎθ＝（ｅ^ｉθ－ｅ^-ｉθ）/２ｉ　…(2-48)

これらの式は式(2-42)の実部と虚部を共役複素数で表すことに相当しています。また、三角関数の諸公式の基礎となる加法定理は指数関数の乗法公式で表わすことができます。すなわち、

　ｅ^{ｉ（θ１+θ２）}＝ｅ^ｉθ１ｅ^ｉθ２

より、

ｃｏｓ（θ_１＋θ_２）＋ｉ・ｓｉｎ（θ_１＋θ_２）
　　　＝（ｃｏｓθ_１＋ｉ・ｓｉｎθ_１）（ｃｏｓθ_２＋ｉ・ｓｉｎθ_２）
　　　＝（ｃｏｓθ_１ｃｏｓθ_２－ｓｉｎθ_１ｓｉｎθ_２）＋ｉ（ｓｉｎθ_１ｃｏｓθ_２＋ｃｏｓθ_１ｓｉｎθ_２）

となり、実部がｃｏｓの加法定理、虚部がｓｉｎの加法定理に相当します。