画像処理の基礎講座(目次)  画像処理・画像解析ソフトPopImagingの紹介

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2.複素数の基礎
2−1.複素数とは

 フーリエ変換は複素数を利用して表現されますので複素数に関しても簡単に復習しておきます。

 複素数は虚数単位と呼ばれるものから構成されます。虚数単位とは2乗すると−1になる数値でと表し次のように定義します。

 i=−1 …(2-1)

i:虚数単位

この虚数単位iと実数x、yによって

 z=x+iy …(2-2)

i:虚数単位
x,y:実数

の形で表される数値を複素数zと定義します。この複素数zにおいてxを複素数の実部、yを複素数の虚部と呼び次のように表します。

 Re(z)=x …(2-3)
 Im(z)=y …(2-4)

2つの複素数z、z

 z=x+iy
 z=x+iy

に対して、その実部と虚部がそれぞれ等しくなる時、2つの複素数が等しくなるものとします。

 z=z ⇔ x=x, y=y …(2-5)

 虚数単位の定義i=−1よりiと−iはこの定義を同様に満たすことから、−iはiに対して特別な関係を持つことが分かります。ここから複素数を考える上で重要な概念となる共役というものが導入されます。複素数

 z=x+iy

に対してiを−iに置き換えたものを共役複素数と定義し、ここではC(z)と表すことにします。

 C(z)=x−iy …(2-6)

この時、2つの複素数zとC(z)は共役であると言います。二次方程式の解が虚根を持つ時、それらは必ず共役になることからも共役という概念が複素数において果たす重要性が理解できると思います。

 

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