画像処理の基礎講座(目次)  画像処理・画像解析ソフトPopImagingの紹介

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1.画像の周波数特性の基礎
1−1.三角関数

 信号の周波数特性は三角関数を基本にしています。そこで、簡単に三角関数の復習をしておきましょう。代表的な三角関数には

正弦関数 : g(θ)=sin(θ) …(1-1)
余弦関数 : g(θ)=cos(θ) …(1-2)

が有り、角度θ(rad)に対する正弦関数、余弦関数は図1−1のように定義されます。

図1-1:三角関数の定義

 図1−2に角度θと正弦関数及び余弦関数の関係を表す半径1の単位円と角度を変数とした正弦関数及び余弦関数のグラフとを示します。

図1-2:正弦関数と余弦関数

単位円の半径は1(すなわちa=1)ですので図1−1に示す定義より、角度θ(rad)の単位円上の点(u,v)は

 u=cos(θ) …(1-3)
 v=sin(θ) …(1-4)

となり、それぞれ余弦関数と正弦関数の値を表します。図1−2より正弦関数及び余弦関数は2πごとに同じ波形を繰り返す関数になることが分かります。このような関数を周期関数と呼び、同じ波形を繰り返す間隔(ここでは2π)を周期と呼びます。

 図1−2では角度(rad)を変数として三角関数を考えましたが、次に時間的に変化する信号すなわち時間を変数とした三角関数を考えてみましょう。

図1-3:時間変数の正弦関数

図1−3に時間を変数とした正弦関数を示します。この図において、単位円上を時間と共に一定速度で移動する点Q(u,v)を考えます。ここで、点Qが単位円を一周する時間をT(sec)とすると点Pの移動速度いわゆる角速度Ω(rad/sec)

 Ω=2π/T …(1-5)

となり、点Qの初期位置を点Oとすると時刻tにおける点Pの角度θ(rad)

 θ=Ωt …(1-6)

となります。従って、時刻tにおける正弦関数の値は

 g(t)=sin(Ωt) …(1-7)

で表されます。ここで、周期はTとなります。また、周期の逆数(f)

 f=1/T …(1-8)

は周波数と呼び、単位時間当たりの一周期分の波形の数を表します。式(1-5)、(1-8)より周波数と角速度の間には

 Ω=2πf …(1-9)

の関係が成り立ちます。この式より角速度は角度に関する周波数と考えることができ、角周波数とも呼ばれています。信号処理の分野では一般に角速度を角周波数と呼んでいますので、本文でも以降は角周波数と呼ぶことにします。また、式(1-9)より周波数も角周波数と同様に単位時間あたりの信号の変化量を表しますので、周期関数の代表的な特徴量となります。すなわち、周波数が大きい信号程速く変化する波形を表し、周波数が小さい信号程ゆっくり変化する波形を表しています。

 

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